OPERATOR THEORY ON FREE BANACH LATTICES

LOS RETICULOS DE BANACH SON UNA GENERALIZACION DE LOS ESPACIOS DE FUNCIONES, Y PROPORCIONAN UN MARCO TEORICO PARA TRATAR DE MANERA UNIFICADA VARIOS ESPACIOS CLASICOS QUE SURGEN EN ANALISIS. SON ESPACIOS DE BANACH EQUIPADOS CON UN ORDEN Y UNA ESTRUCTURA RETICULAR ADICIONALVQUE SE COMPORTA DE MANERA SIMILAR AL ORDEN PUNTUAL (O CASI EN TODAS PARTES) EN UN ESPACIO FUNCIONAL CLASICO. UN OPERADOR LINEAL ENTRE DOS RETICULOS DE BANACH SE DENOMINA "POSITIVO" SI ASIGNA VECTORES POSITIVOS A VECTORES POSITIVOS. LA RELEVANCIA DE LOS RETICULOS DE BANACH Y DE LOS OPERADORES POSITIVOS ENTRE ELLOS SURGE PRINCIPALMENTE DE DOS PUNTOS DE VISTA DIFERENTES. POR UN LADO, ESTOS OBJETOS POSEEN UNA TEORIA ESTRUCTURAL PROFUNDA Y EXTENSA QUE, DESPUES DE HABER SIDO ESTUDIADA DURANTE VARIAS DECADAS, AUN ESTA LEJOS DE ESTAR COMPLETA. UNA GRAN VARIEDAD DE PREGUNTAS ABIERTAS SIGUEN ESTIMULANDO NUMEROSAS INVESTIGACIONES EN CURSO. POR OTRO LADO, LOS ARGUMENTOS BASADOS EN ESTRUCTURAS DE ORDEN Y OPERADORES POSITIVOS JUEGAN UN PAPEL ESENCIAL EN APLICACIONES EN DIVERSOS CAMPOS DEL ANALISIS MATEMATICO, COMO LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES, EL ANALISIS ESTOCASTICO O LOS SISTEMAS DINAMICOS. LOS RETICULOS DE BANACH Y LA POSITIVIDAD PRESENTAN UN MARCO ABSTRACTO QUE SUBYACE A MUCHOS ARGUMENTOS UTILIZADOS EN ESOS CAMPOS Y PROPORCIONA UNA RICA CAJA DE HERRAMIENTAS QUE SE PUEDE EMPLEAR EN ELLOS. UN AVANCE MUY RECIENTE HA SIDO LA INTRODUCCION DE "RETICULOS DE BANACH LIBRES". COMBINAN LA IDEA DE "OBJETOS LIBRES" (DEL ALGEBRA UNIVERSAL Y LA TEORIA DE CATEGORIAS) CON EL MARCO ANALITICO FUNCIONAL DE LOS RETICULOS DE BANACH. UNA DE LAS CARACTERISTICAS MAS NOTABLES DE ESTA NUEVA TEORIA ES QUE PRODUCE UNA GRAN CANTIDAD DE NUEVOS EJEMPLOS DE RETICULOS DE BANACH QUE SON CANONICAS EN CIERTO MODO, PERO QUE TAMBIEN TIENDEN A COMPORTARSE SORPRENDENTEMENTE DIFERENTE DE LO QUE UNO ESPERA DE LA EXPERIENCIA CON ESPACIOS FUNCIONALES CLASICOS. EL DESARROLLO DE LA TEORIA DE LOS RETICULOS DE BANACH LIBRES ABARCA UNA SERIE DE CONCEPTOS Y RESULTADOS DE OPERADORES POSITIVOS, PERO HASTA AHORA NO SE HA EMPRENDIDO NINGUN ENFOQUE PARA DESARROLLAR UNA TEORIA INTEGRAL DE OPERADORES POSITIVOS EN RETICULOS DE BANACH LIBRES. EL PROPOSITO DE ESTE PROYECTO ES LLENAR ESTE VACIO. ESTO, POR UN LADO, CONDUCIRA A UNA GRAN VARIEDAD DE CONOCIMIENTOS SOBRE COMO SE COMPORTAN LOS OPERADORES POSITIVOS EN LOS RETICULOS DE BANACH LIBRES Y, POR LO TANTO, HARA UNA CONTRIBUCION SIGNIFICATIVA A LA TEORIA DE LOS PROPIOS RETICULOS DE BANACH LIBRES. POR OTRO LADO, LAS PROPIEDADES UNIVERSALES DE LOS RETICULOS DE BANACH LIBRES OFRECEN LA OPORTUNIDAD DE CONSTRUIR NUEVOS TIPOS DE CONTRAEJEMPLOS Y ASI DAR RESPUESTA A ALGUNOS PROBLEMAS QUE HAN ESTADO ABIERTOS EN LA TEORIA GENERAL DE OPERADORES POSITIVOS DURANTE MUCHO TIEMPO.